已知函数f（x）满足f(1/x)＝x+2． （Ⅰ）求f（x）的解析式及其定义域； （Ⅱ）写出f（x）的单调区间并证明．

题目

已知函数f（x）满足f(

1

x

)＝x+2

答案

（Ⅰ）令

1

x

＝t，(t≠0)，--------（2分）
则x＝

1

t

，-------（4分）
∴f(t)＝

1

t

+2(t≠0)，∴f(x)＝

1

x

+2 (x≠0)．-----（6分）
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-----（7分）
设x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，-------（8分）
△y＝f(x2)−f(x1)＝

1

x2

+2−

1

x1

−2＝

x1−x2

x1x2

＝

−△x

x1x2

．--------（10分）
当x₁＜x₂＜0时，x₁x₂＞0，又△x＞0，∴△y＜0；
同理，当0＜x₁＜x₂时△y＜0，
∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-------（12分）