怎样用洛必达法则求：lim(x->1+) (ln x) * ln(x-1)内有疑问

题目

怎样用洛必达法则求：lim(x->1+) (ln x) * ln(x-1)内有疑问
我把1/ ln x变成分母可以求出极限0,但把1/ln(x-1)变成分母为什么就做不出?另外可以用等价无穷小结合来做吗.求大神各种方法

答案

lim(x->1+) (ln x) * ln(x-1)
=lim(x->1+) (ln x) / [1/ln(x-1)]
显然在x->1+时,ln x ->0,而ln(x-1)趋于-∞,故[1/ln(x-1)]趋于0,
对分子分母同时求导,得到
原极限
=lim(x->1+) (1/x) / [-1/ (x-1)*ln²(x-1)]
=lim(x->1+) ln²(x-1) / [1/(x-1)] 分子分母都趋于无穷,同时求导得到
=lim(x->1+) [2ln(x-1) /(x-1)] / [-1/(x-1)²]
=lim(x->1+) -2ln(x-1) / [1/(x-1)] 分子分母都趋于无穷,同时求导得到
=lim(x->1+) [-2/(x-1)] / [-1/(x-1)²]
=lim(x->1+) 2(x-1)
=0
这样做很显然麻烦了一些
用等价无穷小来做要简单很多,
lim(x->1+) (ln x) * ln(x-1)
=lim(x->1+) ln(1+x-1) * ln(x-1)
显然在x->1+时,x-1->0+,
故ln(1+x-1)与x-1是等价无穷小
所以
原极限
=lim(x->1+) (x-1) * ln(x-1)
=lim(x->1+) ln(x-1) / [1/(x-1)] 分子分母都趋于无穷,同时求导得到
=lim(x->1+) 1/(x-1) / [-1/(x-1)² ]
=lim(x->1+) -(x-1)
=0