高中数学三角函数和向量题

题目

高中数学三角函数和向量题
已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ=(0,π/2)
求：(1)求sinθ和cosθ的值
(2)sin(θ-φ)=10分之根号10,0＜φ＜π/2,求cosφ的值

答案

解(1) ∵a⊥b且a=(sinθ,-2),b=(1,cosθ)
∴sinθ-2cosθ=0,即tanθ=2…⑴
∴tanθ=2tan(θ/2)/1-tan^2(θ/2)=2…⑵,其中θ∈(0,π/2),则θ/2∈（0,π/4）
解由⑴⑵组成的方程组得：tan(θ/2)=（√5-1）/2,或tan(θ/2)= （-√5-1）/2,（舍去）
∵sinθ=2tan(θ/2)/1+ tan^2(θ/2),且tan(θ/2)=（√5-1）/2,
∴sinθ=2√5/5
∵sin^2θ+cos^2θ=1,其中θ∈(0,π/2)
∴cosθ=√1- sin^2θ=√5/5.
(2)(2) ∵0＜φ＜π/2,∴-π/2