若“2x2-9x+a＜0”是“x2-4x+3＜0且x2-6x+8＜0”的必要条件，则实数a的取值范围是_．

题目

若“2x²-9x+a＜0”是“x²-4x+3＜0且x²-6x+8＜0”的必要条件，则实数a的取值范围是______．

答案

解

x2−4x+3＜0 x2−6x+8＜0

，得2＜x＜3；
令f（x）=2x2−9x+a＝2(x−

9

4

)2+a−

81

8

；
由已知条件知，x∈（2，3）时，f（x）＜0；
x=

9

4

时，f（x）取最小值a-

81

8

，f（3）＞f（2），且f（3）=a-9；
∴函数f（x）的值域为[a−

81

8

，a−9)；
∴a-9≤0，a≤9；
∴实数a的取值范围是（-∞，9]．

先解不等式组

x2−4x+3＜0 x2−6x+8＜0

，得2＜x＜3，令f（x）=2x²-9x+a=2(x−

9

4

)2+a−

81

8

，求出f（x）在（2，3）上满足f（x）＜f（3）=a-9，所以要让f（x）＜0，只要a-9≤0，即a≤9，这样便求出了a的取值范围．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：考查必要条件的概念，解一元二次不等式，配方法求二次函数的值域．