已知xy^2=100,且1≤x≤10,y>0,求(lgx)^2+(lgy)^2的最大值和最小值

题目

已知xy^2=100,且1≤x≤10,y>0,求(lgx)^2+(lgy)^2的最大值和最小值

答案

(xy)^2=100,1≤x≤10,y>0,
==>xy=10.
==>y=10/x.
(lgx)^2+(lgy)^2
=(lgx+lgy)^2-2lgxlgy
=(lgxy)^2-2lgxlgy
=1-2lgxlgy
=1-2lgx(lg10-lgx)
=1-2lgx(1-lgx)
=2(lgx)^2-2lgx+1
=2(lgx-1/2)^2+1/2
由于1≤x≤10,故0≤lgx≤1.
所以1/2≤(lgx)^2+(lgy)^2≤1.