已知数列{an}的前n项和为Sn,若nan+1=Sn+n(n+1),a1=2

题目

已知数列{an}的前n项和为Sn,若nan+1=Sn+n(n+1),a1=2
(1)求{an}的通项公式
(2)令Tn=Sn/(2^n),求1.当n为＆值时,Tn＞T(n+1)
2.若对一切正整数n,总有Tn≤m,求m的取值范围

答案

(1)
na(n+1)=Sn+n(n+1)
(n-1)an=S(n-1)+n(n-1)
两式相减得：
na(n+1) - (n-1)an=an+2n
故：
na(n+1)-nan=2n
得到：
a(n+1)-an=2
因此：
an-a(n-1)=2
…… ……
a2-a1=2
连加可得：
an-a1=an-2=2n-2
因此：
an=2n (n属于N+)
(2)
Sn=a1+a2+……+an
=2+4+……+2n
=n^2+n (n属于N+)
Tn=Sn/(2^n)
=(n^2+n)/(2^n) (n属于N+)
故：
T(n+1)=[(n+1)^2+n+1]/[2^(n+1)]
因为要使Tn>T(n+1)成立,由于Tn各项都为正数,故有Tn/T(n+1)>1:
Tn/T(n+1)={[(n^2+n)/(2^n)]} /{[(n+1)^2+n+1]/[2^(n+1)]}
=(2n^2+2n)/(n^2+3n+2)>1
所以：
2n^2+2n>n^2+3n+2
解得：
(-∞,-1)U(2,+∞)
又因为n属于N+,因此使Tn>T(n+1)成立的n的范围为：
(2,+∞) (n属于N+)
即是：n=3,4,5,……
由于从n=3开始,就有Tn>T(n+1)成立,因此可知：
T3>T4>……>Tn
且有：
当n~[1,2]时,Tn≤T(n+1)
即是：
T1≤T2≤T3
故可以得到：
(Tn)max=T3
即是T3的值最大.
T3=(9+3)/(2^3)=3/2
而题中要求Tn≤m恒成立,因此可得m的范围为：
[3/2,+∞)
如果还有不清楚的再跟我说吧!