若f´(x)为一次函数,且对任意x属于R恒有x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1,则f(x)=

题目

若f´(x)为一次函数,且对任意x属于R恒有x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1,则f(x)=

答案

设f'(x)=2ax+b
则：f(x)=ax^2+bx+c
所以有：x^2(2ax+b)-(2x-1)(ax^2+bx+c)=1
展开得：
2ax^3+bx^2-2ax^3-2bx^2-2cx+ax^2+bx+c-1=0
(a-b)x^2+(b-2c)x+c-1=0
即：
a-b=0,b-2c=0 c-1=0
解得：a=2,b=2,c=1
所以可得：f(x)=2x^2+2x+1