已知2*cosα的平方+sinα=1,α在第三象限,那么sin(α/2)=

题目

已知2*cosα的平方+sinα=1,α在第三象限,那么sin(α/2)=

答案

2*cosα的平方+sinα=1
2*(1-sinα的平方)+sinα=1
2-2sinα的平方+sinα=1
1-2sinα的平方+sinα=0
2sinα的平方-sinα-1=0
(2sinα+1)(sinα-1)=0
sinα=-1/2或sinα=1
α∈(π,3π/2)
所以sinα=-1/2
cosα=-√3/2
cosα=1-2sin²(α/2)
1-2sin²(α/2)=-√3/2
2sin²(α/2)=√3/2+1
sin²(α/2)=√3/4+1/2
sin²(α/2)=(2+√3)/4
sin²(α/2)=2(4+2√3)/16
sin²(α/2)=2[(√3+1)/4]²
sin(α/2)=±√2*(√3+1)/4
sin(α/2)=±(√6+√2)/4
α∈(π,3π/2)
α/2∈(π/2,3π/4)
所以sin(α/2)=(√6+√2)/4