设函数f(x)在R上连续,且满足f[f(x)]=x,证明：在R上至少存在一点m,使得f(m)=m
题目
设函数f(x)在R上连续,且满足f[f(x)]=x,证明：在R上至少存在一点m,使得f(m)=m
答案
若 y=f(x) 则有 x=f-1(y) (此处指的是反函数) .f(f(x))=x 即等价于f-1(x)=f(x) ,又因为f-1(x)=f(x)关于y=x对称,所以不难知道此函数的图像为垂直于y=x或重合于y=x的直线,那么显然在函数于y=x的交点处必有结论成立.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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