设函数f(x)在R上连续,且满足f[f(x)]=x,证明:在R上至少存在一点m,使得f(m)=m

设函数f(x)在R上连续,且满足f[f(x)]=x,证明:在R上至少存在一点m,使得f(m)=m

题目
设函数f(x)在R上连续,且满足f[f(x)]=x,证明:在R上至少存在一点m,使得f(m)=m
答案
若 y=f(x) 则有 x=f-1(y) (此处指的是反函数) .f(f(x))=x 即等价于f-1(x)=f(x) ,又因为f-1(x)=f(x)关于y=x对称,所以不难知道此函数的图像为垂直于y=x或重合于y=x的直线,那么显然在函数于y=x的交点处必有结论成立.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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