limn→∞n*[e^2-(1+1/n)^2n]

题目

limn→∞n*[e^2-(1+1/n)^2n]

答案

结果为e^2

先令 t=1/n ->0
化简可得:
lim(e^2-(1+t)^(2/t))/t t->0
(1+t)^(2/t) =e^(2ln(t+1)/t)
分母提出一个e^2
可得
lim(e^2*(1-e^(2ln(1+t)/2-2)))/t t->0
又因为
e^x-1~x x->0 性质
所以化简为:
2e^2lim(t-ln(1+t))/t^2 上下求导
2e^2lim(1-1/(1+t))/(2t) t->0
所以
2e^2*1/2=e^2