设a，b，c为三角形ABC的三边，且满足 （1）a＞b＞c； （2）2b=a+c； （3）a2+b2+c2=84，则整数b=_．

题目

设a，b，c为三角形ABC的三边，且满足
（1）a＞b＞c；
（2）2b=a+c；
（3）a²+b²+c²=84，则整数b=______．

答案

∵a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a＞b＞c，2b=a+c，
∴a＞c＞0，
∴a，c是关于x的二次方程x2−2bx+

5b2−84

2

＝0的两个不等正根，
∴

△＝4b2−2(5b2−84)＞0 2b＞0 5b2−84 2 ＞0

∴解之得

84

4

＜b2＜28
∵b是整数，b＞0，
∴b²=25，
∴b=5．

因为a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a＞b＞c，2b=a+c，可得a＞c＞0，所以可得以a，c为根的二次方程x2−2bx+

5b2−84

2

＝0，根据二次方程的性质，即可得

84

4

＜b2＜28，即可求得b=5．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评：此题考查了二次方程的应用，注意三角形的三边关系，注意二次方程的性质的应用，解题时还要注意要细心．