设a0+a1/2+a2/3+...+an/(n+1)=0,试证:在(0,1)内至少存在一个x满足a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0

题目

设a0+a1/2+a2/3+...+an/(n+1)=0,试证:在(0,1)内至少存在一个x满足a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0

答案

令f(x)=a0x+a1x²/2+a2x³/3+.+anx^(n+1)/(n+1)显然f(x)连续可导而f(0)=f(1)=0f'(x)=a0+a1x+a2x²+.+anx^n所以由罗尔定理,得在(0,1)内至少存在一个x满足a0+a1x+a2x^2+...+anx^n=0...