求解一道概率题

题目

求解一道概率题
设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,D（Xi）=δi^2,δi不等于0,i=1,2…,n.又∑（i从1到n）ai=1,求ai(i=1,2…,n),使∑（i从1到n）aiXi的方差最小.
答案提示用构造拉格朗日函数L=∑（i从1到n）（aiδi)^2+λ（∑（i从1到n）ai-1)=0；
∑（i从1到n）ai=1.然而不会解离散型变量的拉格朗日的这个方程..

答案

因为X1,X2,…,Xn相互独立,所以
D(∑（i从1到n）aiXi) = ∑（i从1到n）D(aiXi) = ∑（i从1到n）ai^2 D(Xi) = ∑（i从1到n）ai^2 δi^2
设 L(a1,...,an,λ) = ∑（i从1到n）（aiδi)^2+λ（∑（i从1到n）ai-1),
当给定 a1,...,a(i-1),a(i+1),...,an,λ时,L是ai的二次函数,且开口向上.
于是在最小值处,有：
下面用 dL/dai 表示偏导数.
dL/dai = 2ai δi^2 + λ = 0 ,i = 1,...,n
==> -λ/2 = a1 δ1^2 = a1/(1/ δ1^2) = .= an/(1/ δn^2)
= (a1 + .+an)/((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))
= 1/ ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))
==>
ai = -λ / (2δi^2) = 1/δi^2 * (-λ/2)= 1/δi^2 / ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2)) ,i = 1,2,...,n
当 ai ,i=1,...,n,为上值时,方差最小.