已知钝角三角形的三边长成等差数列，公差为1，其最大角不超过120°，则最小角余弦值的取值范围为_．

题目

已知钝角三角形的三边长成等差数列，公差为1，其最大角不超过120°，则最小角余弦值的取值范围为______．

答案

设三边长为a，a+1，a+2，
∵已知三角形为钝角三角形，设最大角为α，最小角为β
则90°＜α≤120°
∴cosα=

a2+(a+1)2−(a+2)2

2a(a+1)

=

a−3

2a

∈[-

1

2

，0）
则cosβ=

(a+2)2+(a+1)2−a2

2(a+2)(a+1)

=

a+5

2(a+2)

∈(

4

5

，

13

14

)
故答案为：(

4

5

，

13

14

)．