已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．

题目

已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．

答案

证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，
∵∠BPC=120°，
∴∠CPE=60°，又PE=PC，
∴△CPE为等边三角形，
∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠PCE，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，
即：∠ACP=∠BCE，
在△ACP和△BCE中，

AC＝BC ∠ACP＝∠BCE CP＝CE

，
∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE，
∵BE=BP+PE，
∴AP=BP+PC．

延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论．

本题考点：旋转的性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．