正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点求证： （1）B1D1⊥AE （2）AC∥平面B1DE．

题目

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点求证：
（1）B₁D₁⊥AE
（2）AC∥平面B₁DE．

答案

证明：（1）连结AC，BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵CE⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，
∴CE⊥BD，又AC∩CE=C，
∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，
∴BD⊥AE，
∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥AE．
（2）取AA₁的中点F，连接FB₁、FD、FE，
∵FB₁=DE，FD=B₁E，
∴四边形B₁FDE是平行四边形，即B₁、F、D、E四点共面，
∵AC∥FE，且AC不在平面B₁FDE内，
∴AC∥平面B₁FDE，即AC∥平面B₁DE．