第一次数学危机是什么?

题目

第一次数学危机是什么?

答案

毕达哥拉斯的数是指整数,他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理.他们知道满足直角三角形三边长的一般公式,但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达,也就是勾长或股长与弦长是不可通约的.这样一来,就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比.
　　不可通约性的发现引起第一次数学危机.有人说,这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的,为此,他的同伴把他抛进大海.不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实,而希帕索斯因泄密而被处死.不管怎样,这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击.这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战,于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.
　　同时这也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的.从此希腊人开始由“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系,这不能不说是数学思想上一次巨大革命,这也是第一次数学危机的自然产物.
编辑本段历史　　回顾以前的各种数学,无非都是“算”,也就是提供算法.即使在古希腊,数学也是从实际出发,应用到实际问题中去的.比如泰勒斯预测日食,利用影子距离计算金字塔高度,测量船只离岸距离等等,都是属于计算技术范围的.至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学,并没有经历过这样的危机和革命,所以也就一直停留在“算学”阶段.而希腊数学则走向了完全不同的道路,形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系.
　　但是,自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础,把数的研究隶属于形的研究,割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究,使算术和代数的发展受到很大的限制,基本理论十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.
编辑本段诱因　　整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念.日常生活中,不仅要计算单个的对象,还要度量各种量,例如长度、重量和时间.为了满足这些简单的度量需要,就要用到分数.于是,如果定义有理数为两个整数的商,那么由于有理数系包括所有的整数和分数,所以对于进行实际量度是足够的.
　　有理数有一种简单的几何解释.在一条水平直线上,标出一段线段作为单位长,如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1,则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数,正整数在0的右边,负整数在0的左边.以q为分母的分数,可以用每一单位间隔分为q等分的点表示.于是,每一个有理数都对应着直线上的一个点.
　　古代数学家认为,这样能把直线上所有的点用完.但是,毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点.特别是,他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数,这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线.于是就必须发明新的数对应这样的点,并且因为这些数不可能是有理数,只好称它们为无理数.无理数的发现,是毕氏学派的最伟大成就之一,也是数学史上的重要里程碑.
　　无理数的发现,引起了第一次数学危机.首先,对于全部依靠整数的毕氏哲学,这是一次致命的打击.其次,无理数看来与常识似乎相矛盾.在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的,因为与直观相反,存在不可通约的线段,即没有公共的量度单位的线段.由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的,所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上,这样,他们的关于相似形的一般理论也失效了.
　　“逻辑上的矛盾”是如此之大,以致于有一段时间,他们费了很大的精力将此事保密,不准外传.但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象.泰奥多勒斯指出,面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约,并对每一种情况都单独予以了证明.随着时间的推移,无理数的存在逐渐成为人所共知的事实.