f(x)=-1/3x^3+ax+(1-a)lnx 若函数y=f(x)有零点,求a的取值范围

题目

f(x)=-1/3x^3+ax+(1-a)lnx 若函数y=f(x)有零点,求a的取值范围
a∈R

答案

首先, f（1）=-1/3+a,
（1）若a≥1/3,则由于当x趋于正无穷时,f（x）趋于负无穷,且存在f（1）≥0,所以f（x）存在零点,也就是说a≥1/3满足条件.
（2）若a＜1/3,f‘（x）=-x²+a+（1-a）/x=（x-1）（-x²-x+a-1）/x,
由于a＜1/3,所以-x²-x+a-1=0无实数解（因为△＜0）,所以令f’（x）=0得x=1
于是不难发现,f（x）在x=1取到唯一的极大值也是最大值.
所以,f（x）max=f（1）=-1/3+a＜0,所以f（x）没有零点.
综合（1）（2）可知,a取值范围为a≥1/3