y=x^2,直线l:x-y-2=0,过l上的一动点p作抛物线的两条切线,切点为A,B求三角形PAB的重心的轨迹方程

题目

y=x^2,直线l:x-y-2=0,过l上的一动点p作抛物线的两条切线,切点为A,B求三角形PAB的重心的轨迹方程

答案

过抛物线上任意一点（m,n）的切线的斜率为y‘=2m
设A（X1,X1^2）,B(X2,X2^2) ,P(X3,Y3),
则过A点的切线方程为y-X1^2=2*X1*(x-X1),
过B点的切线方程为y-X2^2=2*X2*(x-X2),
联立两式得：x=（X1+X2）/2,y=X1*X2
即X3=（X1+X2）/2,Y3=X1*X2,而已知X3-Y3-2=0,
故有：X1*X2=（X1+X2）/2-2
设△PAB的重心G（X0,Y0）,
则X0=（X1+X2+X3）/3=(X1+X2)/2 ,
Y0=(Y1+Y2+Y3)/3=(X1^2+X2^2+X1*X2)/3=(X1+X2)^2/3-X1*X2/3
=(X1+X2)^2/3-（X1+X2）/6+2/3
易得：Y0=(2X0)^2/3-X0/3+2/3
根据X1*X2=（X1+X2）/2-2验证X0的取值范围得X0∈R
所求三角形PAB的重心的轨迹方程为Y=(2X)^2/3-X/3+2/3