问一道关于微分中值定理的数学题

题目

问一道关于微分中值定理的数学题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在区间(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0),证明在(0,1)内至少存在一点m,使得(1+m)f'(m)=f(m)成立.
要用微分中值定理来做,

答案

设g(x)=lnf(x)-ln(1+x).g(0)=lnf(0),g(1)=lnf(1)-ln2=ln(f(1))/2,g(0)=g(1),在[0,1]满足罗尔定理故存在m属于（0,1）,使得g′(m)=0而g′(x)=f′(x)/f(x)-1/(1+x),所以f′(m)/f(m)-1/(1+m)=0,即,(1+m)f'(m)=f(m)成立...