证明:当x>0时,ln(1+x)<x-1/2x2+1/3x3.
题目
答案
【解法1】利用函数单调性进行证明.
令F(x)=ln(1+x)-(x-
x2+
x3),则F(x)在[0,+∞)上连续可导.
因为F′(x)=
-(1-x+x
2)=
=-
<0,
所以F(x)在(0,+∞)上严格单调递减,
从而当x>0时,F(x)<F(0),即:
ln(1+x)<x-
x2+
x3.
【解法2】利用泰勒公式进行证明.
对于任意x>0,利用泰勒公式可得,∃ξ∈(0,x),使得
ln(1+x)=x-
x2+
x3-
ξ4,
从而,ln(1+x)<x-
x2+
x3.
举一反三
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