设函数f(x)的定义域为D,值域为B,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f(g(t))的值域仍然是B

题目

设函数f(x)的定义域为D,值域为B,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f(g(t))的值域仍然是B
那么,称函数x=g(t)是函数f(x)的一个等值域变换.
（1）判断下列x=g(t)是不是f(x)的一个等值变换?说明你的理由：
A:f(x)=2x+b,x属于R,x=t^2-2t+3,t属于R;
B:f(x)=x^2-x+1,x属于R,x=g(t)=2^t,t属于R;
(2)设f(x)=log2X(x属于正实数）,g(t)=at^2+2t+1,若x=g(t)是f(x)的一个等值域变换,求实数a的取值范围,并指出x=g(t)的一个定义域.

答案

(1) A B 都不是.A:t^2-2t+3=(t-1)^2+2>=2,只是原来x的定义域的一部分.B:2^t>0,只是原来x的定义域的一部分.
(2) 本题等价于at^2+2t+1恒大于0,且可以为任意正实数.
at^2+2t+1=a(t+1/a)^2+1-1/a^2>0
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