设A为n阶方阵,且A^2-A=2I,证明：R(2I-A)+R(I+A)=n

题目

设A为n阶方阵,且A^2-A=2I,证明：R(2I-A)+R(I+A)=n

答案

由A²-A=2I
得A²-A-2I=0
(A-2I)(A+I)=0
所以R(A-2I)+R(A+I)≤n
又R(A-2I)=R(2I-A)
故 R(2I-A)+R(A+I)≤n
又R(2I-A)+R(A+I)≥R[(2I-A)+(A+I)]=R(3I)=n
所以R(2I-A)+R(I+A)=n