已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则xyz的最大值是_.
题目
已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则xyz的最大值是______.
答案
∵x+y+z=1①,x
2+y
2+z
2=3②
∴①
2-②可得:xy+yz+xz=-1
∴xy+z(x+y)=-1
∵x+y+z=1,
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z(x+y)=-1-z(1-z)=z
2-z-1
∵x
2+y
2=3-z
2≥2xy=2(z
2-z-1)⇒3z
2-2z-5≤0⇒-1≤z≤
令f(z)=xyz=z
3-z
2-z,则f′(z)=3z
2-2z-1=(z-1)(3z+1)
令f′(z)>0,可得z>1或z<
−,
∴f(z)在区间[-1,-
]单调递增,在[-
,1]单调递减,在[1,
]单调递增,
当z=-
时,xyz的值为
,当z=
时,xyz的值为
,
∴xyz的最大值为
.
故答案为:
.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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