二阶微分方程,求解啊,我还想知道像这种等式右边既有多项式又有e函数的怎么设特解,谢谢

题目

二阶微分方程,求解啊,我还想知道像这种等式右边既有多项式又有e函数的怎么设特解,谢谢
y``-y`=4xe^x满足初始条件x=0y=0,x=0y`=1,求特解

答案

先看特征根：
t^2-t=0,得t=0, 1
因此通解形式为y1=C1+C2e^x
因为右边e^x是通解形式中的一项,所以前面的多项式要高一次,设y*=x(ax+b)e^x
y*'=(ax^2+bx+2ax+b)e^x
y*"=(ax^2+bx+4ax+2b+2a)e^x
代入原方程：
(ax^2+bx+4ax+2b+2a)-(ax^2+bx+2ax+b)=4x
2ax+(b+2a)=4x
2a=4, b+2a=0
得a=2, b=-4