已知关于x的方程2cosx+6sinx+1=0的两根分别为α,β,且α,β∈（0,2兀）,α≠β,则sin(α+β)=

题目

已知关于x的方程2cosx+6sinx+1=0的两根分别为α,β,且α,β∈（0,2兀）,α≠β,则sin(α+β)=

答案

2cosx+6sinx+1=0 ==> cosx+3sinx=-1/2
令p=cosx,q=sinx,则有：
p+3q=-1/2
p^2+q^2=1 ==> (-1/2-3q)^2+q^2=1 ==> 10q^2+3q-3/4=0
q1,q2为其两根,q1=sina,q2=sinb,q1+q2=-3/10,q1q2=-3/40
p1=-1/2-3q1=cosa
p2=-1/2-3q2=cosb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa=q1p2+q2p1=q1(-1/2-3q2)+q2(-1/2-3q1)=-(q1+q2)/2-6q1q1
=3/20+18/40=3/5