若任意三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c一定是某个整数(常数)n的倍数,n的最大值为
题目
若任意三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c一定是某个整数(常数)n的倍数,n的最大值为
答案
分析:根据题义,我们取两组值进行观察分析:
(1) a=11 b=5 则c=22+25=47 a+b+c=63
(2) a=13 b=7 则c=26+35=61 a+b+c=81
∵(63,81)=9 ∴n最大可能值是9.
证明:∵2a+5b=c ∴a+b+c=a+b+2a+5b=3a+6b=3(a+2b) ∴3|a+b+c
设a、b被3除余数为ra、rb.由于a、b是质数,故ra、rb值必是1或2.所以存在以下两种情况:
(1) ra≠rb,则其中必有一个为1、另一个为2.
∵1+2=3 ∴ c=2a+5b=2(a+b)+3b ∴3|c
这与c是质数相矛盾,故这种情况不存在.
(2) ra=rb,则 3|a-b.∵a+2b=3b+(a-b) ∴3|a+2b ∴9| a+b+c
命题成立,即n=9.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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