设f(x)具有二阶连续导数,且f′(0)=0,limx→0f″(x)|x|=1,则( ) A.f(0)是f(x)的极大值 B.f(0)是f(x)的极小值 C.(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点
题目
设f(x)具有二阶连续导数,且f′(0)=0,
=1
答案
首先,由 f′(0)=0 可知,x=0 为 f(x) 的一个驻点,为判断其是否为极值点,仅需判断 f″(x) 的符号.
因为
=1,由等价无穷小的概念可知,
f″(x)=0.
因为f(x)具有二阶连续导数,且
=1>0,由极限的保号性,存在δ>0,对于任意 0<|x|<δ,都有
>0,从而有 f″(x)>0.
从而,对于任意x∈[-δ,δ],都有 f″(x)≥0.由函数极值的判定定理可知,f(0)是极小值. 故 (B)正确,排除(A),(D).
由于 f″(x)≥0,故由拐点的定义可知,(0,f(0))不是 y=f(x) 的拐点,排除(C).
正确答案为(B).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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