已知数列an是首项与公比均为1/3的等比数列,数列bn的前n项和Bn=1/2（n²+n）

题目

已知数列an是首项与公比均为1/3的等比数列,数列bn的前n项和Bn=1/2（n²+n）
设anbn的前n项和为sn,求证1/3≦sn≦3/4 ,

答案

an=(1/3)^n, Bn=n(n+1)/2, bn=Bn-Bn-1=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n
anbn=(1/3)^n*n
Sn=1/3*1+(1/3)^2*2+(1/3)^3*3+.+(1/3)^(n-1)*(n-1)+(1/3)^n*n (1)
(1)式两边乘以1/3
1/3Sn= (1/3)^2*1+(1/3)^3*2+(1/3)^4*3+ .+(1/3)^n*(n-1)+(1/3)^(n+1)*n (2)
(1)式-(2)式,得
2/3Sn=[1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+.+(1/3)^n]-(1/3)^(n+1)*n
=1/3[1-(1/3)^n]/(1-1/3)-(1/3)^(n+1)*n
=1/2-(1/2+n/3)(1/3)^n
Sn=3/4-(3/4+n/2)(1/3)^n<=3/4, 当n=1时,S1=1/3,所以Sn>=1/3
所以1/3<=Sn<=3/4