已知函数f(x)=x2-alnx,g(x)=e^x-[x]

题目

已知函数f(x)=x2-alnx,g(x)=e^x-[x]
(1）证明：e^a>a（2）当a>2e时,讨函数f(x)在区间（1,e^a）上零点个数

答案

（1）构造函数
构造函数 F(x)=e^x-x
则 F'(x)=e^x-1
∴ x>0,F'(x)>0,F(x)递增
x2e,
∴ a/2>e
∴ ln(a/2)>1
∴ f(√a/2)0,f(e^a)=e^2a-a²>0(证明略)
∴ 函数f(x)在区间（1,e^a）上零点个数是2