已知f(x)=x/x-a(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
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已知f(x)=x/x-a(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
题目
已知f(x)=
x
x-a
答案
(1)证明任设x
1
<x
2
<-2,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
x
1
+2
-
x
2
x
2
+2
=
2(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+2)(
x
2
+2)
.
∵(x
1
+2)(x
2
+2)>0,x
1
-x
2
<0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)解任设1<x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
x
1
- a
-
x
2
x
2
- a
=
a×(
x
2
-
x
1
)
(x
1
- a)×(
x
2
-a)
∵a>0,x
2
-x
1
>0,
∴要使f(x
1
)-f(x
2
)>0,只需(x
1
-a)(x
2
-a)>0恒成立,
∴a≤1.
综上所述,0<a≤1.
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