设半径为1的四个球,两两相切放在桌面上

题目

设半径为1的四个球,两两相切放在桌面上
1,设半径为1的四个球,两两相切放在桌面上,求上面一个球的球心到桌面授距离
2,设地球半径为R,城市A位于赤道上东经90度,另一城市B位于东经150度,北纬60度,求城市A,B
之间的距离

答案

1
四个球心构成正四面体,设为OABC,O为最上面的圆的圆心.
这个四面体每个面都是边长为2R的正三角形.
过O做OD垂直于平面ABC于D,那么D也是三角形ABC的中心.
这样,AD=BD=CD=三角形ABC高线的(2/3)=(2R√3)/3
OD=√(OA²-AD²)=√(4R²-4R²/3)=(2R√6)/3
球心到桌面的距离=OD+R=(2R√6)/3+R=(3+2√6)R/3
=1+2√6/3.
2
设C点为赤道上东经150度;可知A,C间跨越60经度;B,C间跨越60纬度.
由余弦定理得,AC空间直线距离为L1=R;
BC空间直线距离为L2=R;
而易知,L1⊥L2,
则AB空间直线距离为L=√(L1^2 + L2^2)=√2R.
则可知A,B与地心夹角为45°=π/4;
则A,B两点之间球面距离为 πR/4