如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点. (1)证明:△PBC是直角三角形; (2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时,直线AB与平
题目
如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:△PBC是直角三角形;
(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角正切值为
时,直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
答案
(1)证明:∵C在圆O上,∴BC⊥AC,
∵PA⊥平面
ABC,∴BC⊥PA,
∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC,∴△BPC是直角三角形.
(2) 如图,过A作AH⊥PC于H,
∵BC⊥平面PAC,∴BC⊥AH,
∴AH⊥平面PBC,则∠ABH就是要求的角.…(8分)
∵PA⊥平面ABC,∴∠PCA是PC与平面ABC所成角,…(9分)
∵tan∠PCA=
=
,又PC=2,∴AC=
.…(10分)
∴在Rt△PAC中,AH=
=
,…(11分)
∴在RtABH中,sin∠ABH=
=
,
故AC与平面PBC所成角正弦值为
.…(12分)
(1)由C在圆O上,知BC⊥AC,由PA⊥平面ABC,知BC⊥PA,由此能证明△BPC是直角三角形.
(2)过A作AH⊥PC于H,由BC⊥平面PAC,知BC⊥AH,AH⊥平面PBC,所以∠ABH是AC与平面PBC所成角.由此能求出AC与平面PBC所成角正弦值.
直线与平面所成的角.
本题考查直角三角形的证明,考查直线与平面所成角的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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