如图1所示，圆上均匀分布着11个点A1，A2，A3，…，A11．从A1起每隔k个点顺次连接，当再次与点A1连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1≤k≤8（k为正整数）．例如，图2

题目

如图1所示，圆上均匀分布着11个点A₁，A₂，A₃，…，A₁₁．从A₁起每隔k个点顺次连接，当再次与点A₁连接时，我们把所形成的图形称为“k+1阶正十一角星”，其中1≤k≤8（k为正整数）．例如，图2是“2阶正十一角星”，那么∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁=______；当∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁=900°时，k=______．

答案

看图2，设圆心为O，则优角A₁₀OA₃的度数为角A₁的2倍．
而优角A₁₀OA₃=∠A₁₀OA₉+∠A₉OA₈+∠A₈OA₇+…+∠A₄OA₃，
而每个∠A_kOA_k-1=

360°

11

，所以，优角A₁₀OA₃=7×

360°

11

，
进而∠A₁=优角A₁₀OA₃÷2=7×

180°

11

，
所以∠A₁+∠A₂+…+∠A₁₁=7×180°=1260°；
由题意，∠A₁即为∠A_k+1A₁A_12-k，
当k＜6时，同（1）问，可计算得那个优角的度数为（9-2k）×

360°

11

，
因此，（9-2k）×

360°

11

=2×

900°

11

，
解得k=2，
当k＞6时，优角的度数为（2k-9）×

360°

11

，
因此（2k-9）×

360°

11

=2×

900°

11

解得k=7．
综上，k=2或7．
故答案为：1260°，2或7．