求∫√ 4+x²dx=多少
题目
求∫√ 4+x²dx=多少
答案
方法一:三角代换
∫√(4+x²) dx
令x=2tanu,则√(4+x²)=2secu,dx=2sec²udu
=∫2secu*2sec²u du
=4∫sec³u du
下面计算:
∫sec³u du
=∫secu d(tanu)
分部积分
=secutanu-∫tan²usecu du
=secutanu-∫(sec²u-1)secu du
=secutanu-∫sec³u du+∫secu du
=secutanu-∫sec³u du+ln|secu+tanu|
将-∫sec³u du移到左边与左边合并后,除以系数得:
∫sec³u du=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C
换回变量
=(1/8)x√(4+x²)+(1/2)ln(√(4+x²)+x)+C
因此原式=4∫sec³u du=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C
方法二:分部积分
∫√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫x²/√(4+x²) dx 注意:√(4+x²)求导为x/√(4+x²)
=x√(4+x²)-∫(x²+4-4)/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4∫1/√(4+x²) dx
=x√(4+x²)-∫√(4+x²) dx+4ln(√(4+x²)+x)
将-∫√(4+x²) dx移到左边与左边合并,得:
∫√(4+x²) dx=(1/2)x√(4+x²)+2ln(√(4+x²)+x)+C
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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