平面向量题

题目

平面向量题
在三角形OAB的边OA,OB上分别取M,N,使OM：OA=1：3,ON：OB=1：4,设线段AN与BM的交点为P,用向量OA和向量OB表示向量OP

答案

方法1:设MP=λ1PB,(向量二字省略),则OP=OM/(1+λ1)+λ1b/(1+λ1)
所以OP=[(a/3)/(1+λ1)]+[λ1b/(1+λ1)].
设AP=λ2PE,则OP=a/(1+λ2)+λ2ON/(1+λ2)
所以OP=a/(1+λ2)+[(λ2b/4)/(1+λ2)].
因为a,b不共线,所以由得:
(1/3)/(1+λ1)=1/(1+λ2)
λ1/(1+λ1)=(λ2/4)/(1+λ2)
所以λ1=2/9,λ2=8/3
代入得:OP=3a/11+2b/11
方法2:建立一个理想物力模型,
设这个三角形是一个理想的杠杆组,每一点都是平衡的
设A点受力为1N,则因为AM:OM=2:1,所以由杠杆原理得:O点受力为2N
同理因为杠杆OB平衡,而ON:NB=1:3,所以B点受力为2/3N
而杠杆AO支点受力为1+2=3N,
杠杆MB平衡,所以MP:BP=B点受力:M点受力=2:9
因为向量MB=b-a/3,所以向量MP=2MB/11=2b/11-2a/33,
所以向量OP=OM+MP=a/3+2b/11-2a/33=3a/11+2b/11