求助 各位高数大神帮帮忙! 高数 拉格朗日中值定理 证明 唯一性 连续 极限 可导

题目

求助 各位高数大神帮帮忙! 高数 拉格朗日中值定理 证明 唯一性 连续 极限 可导
【设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f''(x)不等于0,证明：(1)若给定(-1,1)内的x不等于0,#存在#唯一的a#属于(0,1),使得f(x)=f(0)+xf'(ax)；】
【#a的存在# 我知道用拉格朗日中值定理可以证明】
【#唯一#不知道该怎么证明】由已知可得：f '(ax)=[f(x)-f(0)]/x f ''(ax)= [ f '(x)-f '(ax)]/x,接下来该怎么证明唯一呢? 急si啦?就是不会证?

答案

首先,存在一个那样的a.
‘如果存在不相等的那样的a、a',
则f(x)=f(0)+xf'(ax),f(x)=f(0)+xf'(a'x)
所以xf'(ax)=xf'(a'x)
因为x≠0,所以f'(ax)=f'(a'x)
所以在ax、a'x之间存在b使得f''(b)=0,矛盾
所以a唯一存在