求函数y=cos2x+sinxcosx的值域．

题目

求函数y=cos²x+sinxcosx的值域．

答案

y=cos2x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

(sin2x+cos2x)+

1

2

=

2

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，因为sin（2x+

π

4

）∈[-1，1]
所以原函数的值域为[

1

2

-

2

2

，

1

2

+

2

2

]

把原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，提取

2

，利用两角和的正弦函数公式的逆运算变为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域得到函数y的值域．

本题考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：考查学生利用运用二倍角的正弦、余弦公式化简求值，以及会利用两角和的正弦公式的逆运算，牢记特殊角的三角函数值．掌握正弦函数的图象和性质并会求正弦函数的值域．