已知定义在r上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)求证f(1)=f(-1)=0求证f（x）为偶函数

题目

已知定义在r上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)求证f(1)=f(-1)=0求证f（x）为偶函数

答案

f(xy)=f(x)+f(y) >>>> f(0)=f(0)+f(0) >>> f(0)=0 >>>> f(0)=f(1*0)=f(1)+f(0)
>>>> f(1)=0 同时 f(0)=f(-1 * 0)=f(-1)+f(0)=0 >>>> f(-1)=0 >>>> 所以f(1)=f(-1)=0；
又因为 如果为偶函数则有 f(x)=f(-x); 因为 f(x * -1)=f(x)+f(-1)=f(x) 所以f(x)为偶函数