无理数的无理数次方可能是整数吗?

无理数的无理数次方可能是整数吗?

题目
无理数的无理数次方可能是整数吗?
请给出证明,
是整数,不知是有理数,然后证法要适合高一
答案
不一定.根号2的根号2次方是什么?
如果是有理数,最好不过.
如果是无理数,那么这个数的根号2次方就是2,就是无理数的无理数次方是有理数.
证明:
若(根号2的根号2次方)为有理数,则命题成立.
若(根号2的根号2次方)为无理数,则(根号2的根号2次方)的(根号2)次方=(根号2)的(根号2*根号2)次方=(根号2)的(2)次方=2,2为有理数,命题成立.
又如:
证明方法:
随便取一个数的自然对数,如ln10
如果ln10为无理数,就证明无理数的无理数次方可以为有理数.
证明ln10为无理数,也就是证明ln10不可能是有理数.
采用反证法,设ln10为有理数.
我们知道有理数和无理数的差别.
有理数是可以表示成分数的,即可以表示为两个整数相除.
而无理数,是不能表示为两个整数相除的.
如果ln10为有理数,则e的有理数次(此数不为0)方可能为有理数.(推论1)
即无理数e的整数次幂开整数次方为有理数.
先讨论e的整数次幂的问题.
无理数e的整数次幂可以表示成若干个无理数e相乘.其结果只能是无理数.证明如下:
如果e的整数次幂为有理数,那么e可以表示为有理数除以一个整数,而该有理数也可以表示为两整数相除,最后得出e可以表示为两整数相除,与e的无理数身份矛盾.
所以e的整数(不能为0)次幂必为无理数.(定理1)
其次,无理数开整数次方不可能是有理数.(定理2)这个大家都明白,很简单.
根据定理1和定理2,得出无理数e的有理数(不能为0)次幂必为无理数.(定理3)
如果ln10是有理数,那么根据定理3,10为无理数.错误.
所以ln10为无理数.
所以,无理数的无理数次方可能为有理数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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