若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”. (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数; (2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+
题目
若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
答案
(1)设顶点为(h,k)的二次函数的关系式为y=a(x-h)
2+k,
当a=2,h=3,k=4时,
二次函数的关系式为y=2(x-3)
2+4.
∵2>0,
∴该二次函数图象的开口向上.
当a=3,h=3,k=4时,
二次函数的关系式为y=3(x-3)
2+4.
∵3>0,
∴该二次函数图象的开口向上.
∵两个函数y=2(x-3)
2+4与y=3(x-3)
2+4顶点相同,开口都向上,
∴两个函数y=2(x-3)
2+4与y=3(x-3)
2+4是“同簇二次函数”.
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为:y=2(x-3)
2+4与y=3(x-3)
2+4.
(2)∵y
1的图象经过点A(1,1),
∴2×1
2-4×m×1+2m
2+1=1.
整理得:m
2-2m+1=0.
解得:m
1=m
2=1.
∴y
1=2x
2-4x+3
=2(x-1)
2+1.
∴y
1+y
2=2x
2-4x+3+ax
2+bx+5
=(a+2)x
2+(b-4)x+8
∵y
1+y
2与y
1为“同簇二次函数”,
∴y
1+y
2=(a+2)(x-1)
2+1
=(a+2)x
2-2(a+2)x+(a+2)+1.
其中a+2>0,即a>-2.
∴
.
解得:
.
∴函数y
2的表达式为:y
2=5x
2-10x+5.
∴y
2=5x
2-10x+5
=5(x-1)
2.
∴函数y
2的图象的对称轴为x=1.
∵5>0,
∴函数y
2的图象开口向上.
①当0≤x≤1时,
∵函数y
2的图象开口向上,
∴y
2随x的增大而减小.
∴当x=0时,y
2取最大值,
最大值为5(0-1)
2=5.
②当1<x≤3时,
∵函数y
2的图象开口向上,
∴y
2随x的增大而增大.
∴当x=3时,y
2取最大值,
最大值为5(3-1)
2=20.
综上所述:当0≤x≤3时,y
2的最大值为20.
(1)只需任选一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可.
(2)由y1的图象经过点A(1,1)可以求出m的值,然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式,然后将函数y2的表达式转化为顶点式,在利用二次函数的性质就可以解决问题.
二次函数的性质;二次函数的最值.
本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化,考查了二次函数的性质(开口方向、增减性),考查了分类讨论的思想,考查了阅读理解能力.而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 长度为半径r的弦长所对的圆心角大小?及所在的扇形面积?
- 常温下将ph为5的硫酸稀释500倍,稀释后溶液中硫酸根浓度和氢离子浓度的比值为多少?
- "夫赵强而燕弱,而君幸于赵王,故燕王欲结于君."其中“于”表被动 是不是所有的于加主语的句子都表被动
- 知道一段并联电路中一条支路的电阻和干路电流 怎么求通过这条支路的电流
- 过P(1,1),且分别与直线l1:4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=o相切的圆的方程为?
- 九十九又十三分之十二,乘负十三.把他列出来,然后计算,
- 4:x=五分之三:(x-2)
- I have no difficulty ___ writing but I have some difficulty ___ pronunciation
- 两人同时从AB两地相向而行,第一次相遇离A地120米处,相遇后两人继续原速行走,各自达到A、B后返回,
- limx/√1-cosx,x趋向于0-
热门考点