已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y-1=0以及l2上一点P（1，0）．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．

题目

已知直线l₁：4x+y=0，直线l₂：x+y-1=0以及l₂上一点P（1，0）．求圆心C在l₁上且与直线l₂相切于点P的圆的方程．

答案

设圆心坐标为（a，-4a），半径r=

(a-1)2+(-4a-0)2

，
∵圆与直线l₂相切于点P，
∴圆心到直线l₂的距离d=r，即

|a-4a-1|

2

=

(a-1)2+(-4a-0)2

，
解得：a=

1

5

，
∴圆心坐标为（

1

5

，-

4

5

），半径r=

4 2

5

，
则所求圆方程为（x-

1

5

）²+（y+

4

5

）²=

32

25

．

根据圆心到直线l₁上，设出圆心坐标为（a，-4a），由所求圆与直线l₂相切于P点，表示出圆的半径r，得到圆心到直线l₂的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而确定出圆的半径，写出圆的标准方程即可．

本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．