∫7xe2x /(1 + 2x)2 dx

题目

答案

∫ [xe^(2x)]/(1 + 2x)² dx
= (-1/2)∫ xe^(2x) d[1/(1 + 2x)],将1/(1 + 2x)²积分
= (-1/2) xe^(2x)/(1 + 2x) + (1/2)∫ 1/(1 + 2x) d[xe^(2x)],分部积分法
= (-1/2) xe^(2x)/(1 + 2x) + (1/2)∫ 1/(1 + 2x) * e^(2x) * (1 + 2x) dx,将xe^(2x)微分
= (-1/2) xe^(2x)/(1 + 2x) + (1/2)∫ e^(2x) dx
= (-1/2) xe^(2x)/(1 + 2x) + (1/4)e^(2x) + C
= e^(2x)/[4(1 + 2x)] + C
所以原式 = 7e^(2x)/[4(1 + 2x)] + C

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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英语翻译

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