设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左焦点F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与X轴正半轴于点P,Q且AP=8/5PQ.

题目

设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的左焦点F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与X轴正半轴于点P,Q且AP=8/5PQ.
求椭圆的离心率

答案

A(0,b) F(-C,0）
Kaf=b/c Kap=-c/b
AP方程：y=-c/bX+b
令y=0=》Q（b^2/c,0)
把AP方程代入椭圆方程
(b^2+a^2c^2/b^2)x^2-2a^2cx=0
X1=0 X2=2a^2b^2c/(b^4+a^2c^2)
AP=8/5PQ=>Xp=8/5Xq
2a^2b^2c/(b^4+a^2c^2)=8/5*b^2/c
用a^2-c^2代换b^2,然后展开
4a^4+4c^4-9a^2c^2=0
解得 e=√[(9-√17)/8]