已知数组：(1/1)，(1/2，2/1)，(1/3，2/2，3/1)，(1/4，2/3，3/2，4/1)，…，(1/n，2/n-1，3/n-2，…，n-1/2，n/1)，…记该数组为：（a1），（a2

题目

已知数组：(

1

1

)，(

1

2

，

2

1

)，(

1

3

，

2

2

，

3

1

)，(

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

)，…，(

1

n

，

2

n-1

，

3

n-2

，…，

n-1

2

，

n

1

)，…记该数组为：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），…，则a_2009⁼ ___ ．

答案

令a₂₀₀₉是第M组数中的第N个数
则：

1+2+3+…+(M-1)＜2009 1+2+3+…+M≥2009

解得：M=63，且1+2+3+…+62=1953
∵2009-1953=56
∴a₂₀₀₉是第63组中的第56个数
∴a₂₀₀₉是第63组中的第56个数=

56

63-56+1

=7
故答案为：7

要求a₂₀₀₉的值，关键是要计算a₂₀₀₉为哪组数中的第几个数，观察第1组数中有1个数，第二组数中有2个数，第三组数中有3个数，…，第K组数中有K个数，不妨令a₂₀₀₉是第M组数中的第N个数．则有[1+2+3+…+（M-1）]＜2009且[1+2+3+…+（M-1）+M]≥2009，且a₂₀₀₉=

N

M−N

．

本题考点：归纳推理．

考点点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．