12.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体

题目

12.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体
体积最大时，其高的值

答案

若12个顶点都在球体上,则正六棱柱的体对角线为球体的直径,即6；
设正六棱柱的高为h,则由勾股定理知,底面正六边形的对角线为：sqrt(6^2-h^2),进一步求得底面正六边形的面积为：S=6×sqrt(3)/4×[sqrt(36-h^2)/2]^2 =3sqrt(3)/8×(36-h^2)
故可得体积为V =S×h =3sqrt(3)/8h(36-h^2) =3sqrt(3)/8×(36h-h^3)
体积最大则,一次导数为0,二次导数为负数,对体积求导：
V' =3sqrt(3)/8×(36-3h^2) =0 可得 h=2sqrt(3)
V'' =3sqrt(3)/8×(-6h)