用韦达定理解题

题目

用韦达定理解题
x/（2¹º+5³）+y/（2¹º+6³）=1
①｛
x/（3¹º+5³）+y/（3¹º+6³）=1
求x+y=?
②x²y+xy²=880
求x²+y²=?
x+y+z=a
③｛
x²+y²+z²=（1/2）a²
求证0≤x,y,z≤（2/3）a
④ x²+xy+y²=3
求x²-xy+y²的取值范围.
⑤ xy+x+y=71
求x、y
上面的五题没有高手回答，再出5题，答对此5题给分。
①设S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/2²+1/3²）^½+……+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½，则与S最接近的整数是（）
A.2000 B.2001 C.2002 D.2003
②设a为（3+√5）^½-（3-√5）^½的小数部分，
b为（6+3√3）^½-（6-3√3）^½的小数部分，则2/b-1/a的值为
A.√6-√2+1 B.√6+√2-1 C.√6-√2-1 D.√6+√2+1
③满足0＜x＜y，及√1008=√x+√y的不同整数对，则（x，y）的个数是（）个。
④化简S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).
⑤试求不超过（√3+√2）^6的最大整数。
说明：√是根号，^(1/3)是3次根号，^后面的数代表指数.指数受输入法限制，希望您能看懂。
答题要有说明或过程。

答案

①x/（2¹º+5³）+y/（2¹º+6³）=1；x/（3¹º+5³）+y/（3¹º+6³）=1求x+y=?
（2¹º+6³）x+（2¹º+5³）y =（2¹º+6³）（2¹º+5³）
（3¹º+6³）x+（3¹º+5³）y=（3¹º+6³）（3¹º+5³）
两式相减：（2¹º-3¹º）x+（2¹º-3¹º）y=（2¹º+6³）（2¹º+5³）-（3¹º+6³）（3¹º+5³）
故：x+y=2¹º+3¹º-6³-5³
②x²y+xy²=880求x²+y²=?
x²y+xy²=880,故：xy(x+y)=880
没有其他条件无法求,任取x值,求出y值,代入x²+y²,求出的x²+y²是不同的
③x+y+z=a;x²+y²+z²=（1/2）a²求证:x≥0时,y,z≤（2/3）a
因为x+y+z=a,故：x+z=a-y,故：x²+2xz+z²=a²-2ay+y²
因为x²+y²+z²=（1/2）a²
故：2xz+（1/2）a²- y²=a²-2ay+y²
故：xz= a²/4+y²-ay=(y-a/2) ²≥0,
因为x≥0,故：z≥0,同理可求得y≥0
故：x、z可以看作方程p²-(a-y)p+(y-a/2) ² =0
故：△＝(a-y) ²－4(y-a/2) ²≥0,即：y(2a-3y) ≥0
因为y≥0,故：2a-3y≥0,故：y≤（2/3）a
同理可求得z≤（2/3）a
④ x²+xy+y²=3求x²-xy+y²的取值范围.
x²+xy+y²=3
令x²-xy+y²=p
故：x²+y²=(p+3)/2,xy=(3-p)/2
又：x²+y²≥2xy,故：(p+3)/2≥3-p 故：p≥1(此时x=y时取等号)
又：x²+y²+2xy=(x+y) ²= (p+3)/2+3-p≥0 故：p≤9(此时x=-y时取等号)
故：1≤p= x²-xy+y²≤9
⑤ xy+x+y=71求x、y
此题只能设定条件,方可求如x 、y为正整数或整数
因为xy+x+y=71
故：xy+x+y+1=72
故：（x+1）(y+1)=72=1×72＝2×36＝3×24＝等等
然后一一对应,求解
①设S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/2²+1/3²）^½+……+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½,则与S最接近的整数是（）
A.2000 B.2001 C.2002 D.2003
1+1/(n-1)²+1/n²
=[n² (n-1) ²+n²+(n-1) ²]/[ n² (n-1) ²]
=[n² (n-1) ²+2n²-2n+1]/[ n² (n-1) ²]
=[n² (n-1) ²+2n(n-1)+1]/[ n² (n-1) ²]
=(n²-n+1) ² /[ (n²-n) ²]
故：[1+1/(n-1)²+1/n²]^½=(n²-n+1)/ (n²-n)=1+1/(n²-n)= 1+1/[n(n-1)]=1+1/(n-1)-1/n
故：S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/2²+1/3²）^½+…+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½
=(1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)+(1+1/3-1/4)+…+(1+1/2000-1/2001)+(1+1/2001-1/2002)
=2002-1/2002
故：选C
②设a为（3+√5）^½-（3-√5）^½的小数部分, b为（6+3√3）^½-（6-3√3）^½的小数部分,则2/b-1/a的值为 A.√6-√2+1 B.√6+√2-1 C.√6-√2-1 D.√6+√2+1
3+√5=(12+4√5)/4=[(√10) ²+2√10•√2+(√2) ²]/4=(√10+√2) ²/4
故：（3+√5）^½=(√10+√2)/2
3-√5=(12-4√5)/4=[(√10) ²-2√10•√2+(√2) ²]/4=(√10-√2) ²/4
故：（3-√5）^½=(√10-√2)/2
故：（3+√5）^½-（3-√5）^½＝(√10+√2)/2－(√10-√2)/2＝√2
故：a=√2-1
又：6+3√3=(24+12√3)/4=[(√18) ²+2√18•√6+(√6) ²]/4=(√18+√6) ²/4
故：（6+3√3）^½==(√18+√6) /2
6-3√3=(24-12√3)/4=[(√18) ²-2√18•√6+(√6) ²]/4=(√18-√6) ²/4
故：（6-3√3）^½=(√18-√6) /2
故：（6+3√3）^½-（6-3√3）^½＝√6
故：b=√6-2
故：2/b-1/a=2/（√6-2）-1/(√2-1)
=2(√6+2)/[(√6-2)( √6+2)]- (√2+1)/[(√2-1) (√2+1)]
=(√6+2)- (√2+1)
=√6-√2+1
故：选A
③满足0＜x＜y,及√1008=√x+√y的不同整数对,则（x,y）的个数是（）个.
因为√1008＝12√7＝√7＋11√7＝2√7＋10√7＝3√7＋9√7＝4√7＋8√7＝5√7＋7√7
又0＜x＜y,故：x=7时,y=847；x=28时,y=700；x=63时,y=567；x=112时,y=448；x=175时,y=343；
故：（x,y）的个数是（5）个
④化简S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).
因为（2+√5）(2-√5）＝－1,（2+√5）＋(2-√5）＝4,
令2+√5=x,则：2-√5=-1/x,x-1/x=4
故：S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).=x^(1/3)-1/x^(1/3)
故：S ³=[ x^(1/3)-1/x^(1/3)] ³=x-3• x^(1/3)+ 3/x^(1/3)-1/x
=x-1/x-3[x^(1/3)-1/x^(1/3)]=4-3S
故：S ³+3S-4=0
S ³-S+4S-4=0
S(S+1)(S-1)+4(S-1)=0
(S-1)(S²+S+4)=0
因为S²+S+4＞0,故：S＝1
⑤试求不超过（√3+√2）^6的最大整数.
因为（√3+√2）（√3-√2）＝1
故设x=（√3+√2）^6=(5+2√6) ³,则：1/x=（√3-√2）^6 =(5-2√6) ³
x+1/x=（√3+√2）^6+（√3-√2）^6 =(5+2√6) ³+(5-2√6) ³
=[(5+2√6)+(5-2√6)][(5+2√6) ²-(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6) ²] =970
x-1/x=（√3+√2）^6-（√3-√2）^6 =(5+2√6) ³-(5-2√6) ³
=[(5+2√6)-(5-2√6)][(5+2√6) ²+(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6) ²] =396√6
故：x=485+198√6≈969.99
故：不超过（√3+√2）^6的最大整数是969
或：x=（√3+√2）^6=(5+2√6) ³＞1,则：0＜1/x＜1
故：969＜x=970-1/x＜970
故：不超过（√3+√2）^6的最大整数是969