如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D点,已知BD=6,CD=4,求高AD的长.

如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D点,已知BD=6,CD=4,求高AD的长.

题目
如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D点,已知BD=6,CD=4,求高AD的长.
答案
如图,过B作BE⊥AC,垂足为E交AD于F
∵∠BAC=45°
∴BE=AE,
∵∠C+∠EBC=90°,∠C+∠EAF=90°,
∴∠EAF=∠EBC,
在△AFE与△BCE中,
∠EAF=∠EBC
BE=AE
∠FEA=∠CEB=90°

∴△AFE≌△BCE(ASA)
∴AF=BC=BD+DC=10,∠FBD=∠DAC,
又∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
∴FD:DC=BD:AD
设FD长为x,则x:4=6:(x+10),解得x=2,即FD=2
∴AD=AF+FD=10+2=12.
答:AD长为12.
如图,过B作BE⊥AC,垂足为E交AD于F,由∠BAC=45°可以得到BE=AE,再根据已知条件可以证明△AFE≌△BCE,可以得到AF=BC=10,而∠FBD=∠DAC,又∠BDF=∠ADC=90°,由此可以证明△BDF∽△ADC,所以FD:DC=BD:AD,设FD长为x,则可建立关于x的方程,解方程即可求出FD,AD的长.

勾股定理.

本题考查的是勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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