求方程组x3+y3+z3=x+y+zx2+y2+z2=xyz的所有(如果有)正实数解.
题目
求方程组
| x3+y3+z3=x+y+z | x2+y2+z2=xyz |
| |
的所有(如果有)正实数解.
答案
假设原方程组有正实数解.将第二个方程写成x
2-(yz)x+(y
2+z
2)=0.
∵关于x的二次方程有一个实数解的前提是它的判别式是非负数.
∴y
2z
2-4y
2-4z
2≥0,y
2z
2≥4y
2+4z
2.除以4y
2z
2,得
≥+≥.
∴y
2≥4,由于y是正数,故y≥2,
同理得x,y,z≥2.
但第一个方程可写成x(x
2-1)+y(y
2-1)+z(z
2-1)=0,
∵x,y,z≥2,
∴原方程组不存在正实数解.
本题从正面很难作答,故可利用反证法,假设原方程组有正实数解,把第二个方程化为关于x的一元二次方程的一般形式,再根据方程有实数根则△≥0,求出x,y,z的取值范围,再把第一个方程化简,得出与x,y,z的取值范围相矛盾的结论即可.
非一次不定方程(组).
本题考查的是非一次不定方程组的解,利用反证法由第二个方程得出x,y,z的取值范围是解答此题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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