在△ABC中,P,Q分别是AB和AC边上的点,中线AM与PQ交于N.若AB：AP=5:2,AC：AQ=4:3,求AM：AN

题目

在△ABC中,P,Q分别是AB和AC边上的点,中线AM与PQ交于N.若AB：AP=5:2,AC：AQ=4:3,求AM：AN

答案

AB：AP=5:2——AP：BP=2：3
AC：AQ=4:3——AQ：CQ=3：1
AM是中线——AM=CM
连结NB,NC
设：
S△APN：S△BPN=AP：BP=2：3=2x：2y
S△AQN：S△CQN=AQ：CQ=3：1=3y：y
S△BMN：S△CMN=AM：BM=1：1=z：z
∴S四边形BCQN=S△BMN+S△CMN+S△CQN=2z+x
则：
S△ABM=S△ABN+S△BMN=5y+z
S△ACM=S△ACN+S△CMN=4x+z
S△ABM：S△ACM=AM：BM=1：1
S△ABM=S△ACM
5y+z=4x+z
5y=4x
y=0.8x
连结BQ
S△AQP=S△AQN+S△APN=3x+2y
S△BQP=S△BQN+S△BPN=S△BQN+3y
S△AQP：S△BQP=AP：BP=2：3
3S△AQP=2S△BQP
3(3x+2y)=2(S△BQN+3y)
9x+6y=2S△BQN+6y
2S△BQN=9x
S△BQN=4.5x
S△ABQ=S△APN+S△AQN+S△BPN+S△BQN=7.5x+5y=7.5x+4x=11.5x
S△ABQ：S△CBQ=AQ：CQ=3：1
S△CBQ=1/3S△ABQ=23/6x
∴S四边形BCQN=S△BQN+S△BCQ=4.5x+23/6x=25/3x
即2z+x=25/3x
z=22/3x
z=11/3x
S△ACN=S△AQN+S△CQN=4x
S△ACM=S△ACN+S△CMN=4x+11/3x=23/3x
∴AM：AN=S△ACM：S△ACN=(23/3x)：(4x)=23：12